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$N(\sigma)=n-2+1=n-1$ 根据主张陈述前的讨论，因此主张中的同余实际上是一个等式。通过归纳法，假设该主张对于所有 $k \geq 1$ 个对换的乘积都成立，并考虑 $k+1$ 个对换的乘积，例如 $\sigma=\tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{k} \tau_{k+1}$。如果我们设 $\rho=\tau_{2} \cdots \tau_{k+1}$，那么根据归纳假设 $N(\rho) \equiv n-k(\bmod 2)$，我们必须证明 $N\left(\tau_{1} \rho\right) \equiv n-k-1(\bmod 2) \equiv N(\rho)-1(\bmod 2)$。因为 $1 \equiv-1(\bmod 2)$，所以只需要证明以下内容：
主张 2.4.3. 如果 $\rho \in S_{n}$ 且 $\tau \in S_{n}$ 是一个对换，则
事实上，$N(\tau \rho)=N(\rho) \pm 1$。
主张 2.4.3 的证明. 由于 $\tau$ 是一个对换，我们可以将 $\tau=(a, b)$ 写为某个 $a, b \in\{1, \ldots, n\}$, $a \neq b$。注意，$a$ 和 $b$ 各自恰好位于 $\rho$ 的一个轨道中（可能在同一个轨道中）。设 $O=O_{\rho}\left(a_{1}\right)$ 是 $\rho$ 的一个轨道。如果 $a$ 和 $b$ 都不在 $O$ 中，将 $O$ 中的元素写为 $a_{1}, \rho\left(a_{1}\right)=a_{2}, \ldots, \rho\left(a_{r-1}\right)=a_{r}, \rho\left(a_{r}\right)=a_{1}$。由于对于所有 $i$, $a_{i} \neq a, b, \tau\left(a_{i}\right)=a_{i}$。因此 $(\tau \rho)\left(a_{i}\right)=\rho\left(a_{i}\right)=a_{i+1}$，对于 $i<k$，并且 $(\tau \rho)\left(a_{r}\right)=a_{1}$。因此 $O=O_{\tau \rho}\left(a_{1}\right)$ 也是 $\tau \rho$ 的一个轨道。现在让我们考虑包含 $a, b$ 或两者都包含的轨道。有两种情况：
情况 I. 存在 $\rho$ 的一个轨道 $O$，使得 $a$ 和 $b$ 都在 $O$ 中。在这种情况下，我们声称 $N(\tau \rho)=N(\rho)+1$。如上所述，我们可以将 $O$ 写为 $\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}\right\}$，其中 $\rho\left(a_{i}\right)=a_{i+1}$ 对于 $i<r$ 且 $\rho\left(a_{r}\right)=a_{1}$。我们不妨假设 $a_{1}=a$；因此，$b=a_{t}$ 对于某个 $t>1$。那么，对于 $i<t-1$， $(\tau \rho)\left(a_{i}\right)=\tau\left(a_{i+1}\right)=a_{i+1}$。然而，对于 $i=t-1$，
因此 $\left\{a_{1}, \ldots, a_{t-1}\right\}$ 是 $\tau \rho$ 的一个完整轨道 $O^{\prime}=O_{\tau \rho}(a)$。现在考虑 $b$ 在 $\tau \rho$ 下的轨道 $O^{\prime \prime}=O_{\tau \rho}(b)$。如果 $t \leq i<r,(\tau \rho)\left(a_{i}\right)=\tau\left(a_{i+1}\right)=a_{i+1}$。但是对于 $i=r$，
因此 $\left\{a_{t}, \ldots, a_{r}\right\}$ 再次是一个完整的轨道 $O^{\prime \prime}=O_{\tau \rho}(b)$。因此 $\rho$ 的轨道 $O$ 分裂为 $\tau \rho$ 的两个轨道 $O^{\prime}$ 和 $O^{\prime \prime}$，而所有其他轨道保持不变。因此 $N(\tau \rho)=N(\rho)+1$。
情况 II. 存在 $\rho$ 的两个不相交轨道 $O_{1}=O_{\rho}(a)$ 和 $O_{2}=O_{\rho}(b)$，使得 $a \in O_{1}$ 且 $b \in O_{2}$。如上所述，我们可以将 $O_{1}$ 中的元素写为 $\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}\right\}$，其中 $\rho\left(a_{i}\right)=a_{i+1}$ 对于 $i<k, \rho\left(a_{r}\right)=a_{1}$，且 $a_{1}=a$。同样，我们可以将 $O_{2}$ 中的元素写为 $\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}\right\}$，其中 $\rho\left(b_{j}\right)=b_{j+1}$ 对于 $i<s, \rho\left(b_{s}\right)=b_{1}$，且 $b_{1}=b$。那么，对于 $i<r,(\tau \rho)\left(a_{i}\right)=\tau\left(a_{i+1}\right)=a_{i+1}$。对于 $i=r$，
对于 $j<s,(\tau \rho)\left(b_{j}\right)=\tau\left(b_{j+1}\right)=b_{j+1}$。对于 $j=s$，
因此 $O=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}\right\}$ 是 $\tau \rho$ 的一个单一轨道 $O_{\tau \rho}(a)$。换句话说，$\rho$ 的两个轨道 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ 变成了 $\tau \rho$ 的一个单一轨道，而所有其他轨道保持不变。因此 $N(\tau \rho)=N(\rho)-1$。这完成了主张 2.4.3 的证明，从而也完成了定理 2.2.2 的证明。
练习 3.1. 通过因式分解，9 和 16 的最大公约数是 1。通过试错法（或者如果你以前见过欧几里得算法，可以使用更系统的方法），找到整数 $n$ 和 $m$ 使得 $9 n+16 m=1$。
练习 3.2. 通过观察，57 和 93 的最大公约数是 3。不进行任何计算，是否存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $57 x+93 y=2$？为什么或为什么不？不进行任何计算，是否存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $57 x+93 y=-6$，为什么或为什么不？
练习 3.3. 对于以下每个 $a \bmod n$，要么找到 $a^{-1} \bmod n$，即找到一个整数 $x$ 使得 $a x \equiv 1 \bmod n$，要么解释为什么这样的整数不存在：
练习 3.4. 令 $n=2 k+1$ 为奇数自然数。$2^{-1} \bmod n$ 是多少？当 $n=2 k$ 为偶数时会发生什么？
练习 3.5. (i) 证明，对于 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且不全为 0，如果 $a$ 与 $b$ 互质，那么 $a$ 的每个约数 $d$ 都与 $b$ 互质。（你可以从写 $1=a x+b y$ 开始。）
(ii) 证明，对于 $a \in \mathbb{Z}$ 且 $n, m \in \mathbb{N}$，如果 $a$ 与 $n$ 互质且与 $m$ 互质，那么 $a$ 与 $n m$ 互质。（同样，你可以从写 $1=a x+n y, 1=a w+m z$ 开始，其中 $x, y, z, w$ 是某些整数。）反过来，使用 (i)，证明，如果 $a$ 与 $n m$ 互质，那么 $a$ 与 $n$ 互质且与 $m$ 互质。
练习 3.6. (最小公倍数.) 假设 $a, b \in \mathbb{Z}$，且 $a$ 和 $b$ 都不为零。
(i) 将 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数定义为一个正整数 $m$，使得 $a|m, b| m$ （因此 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的倍数），并且，如果 $N \in \mathbb{Z}$ 是 $a$ 和 $b$ 的倍数，那么 $m \mid N$。证明，$a$ 和 $b$ 的最小公倍数，如果存在，是唯一的：如果 $m^{\prime}$ 是 $a$ 和 $b$ 的另一个最小公倍数，那么 $m^{\prime}=m$。
(ii) 证明 $\langle a\rangle \cap\langle b\rangle$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个包含 $a b$ 的子群，因此 $\langle a\rangle \cap\langle b\rangle \neq\{0\}$。令 $m$ 为 $\langle a\rangle \cap\langle b\rangle$ 的正生成元，即 $\langle a\rangle \cap\langle b\rangle=\langle m\rangle$ 且 $m>0$。证明 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个（或者说是唯一的）最小公倍数。我们记作 $m=\operatorname{lcm}(a, b)$。
(iii) 证明 $\operatorname{lcm}(a, b)=|a b| / d$，其中 $d=\operatorname{gcd}(a, b)$，方法如下：令 $f$ 为正整数 $|a b| / m$。利用 $m=a k=b \ell$ 这一事实，证明 $f \mid a$ 且 $f \mid b$。反过来，如果 $e \in \mathbb{Z}$ 且 $e \mid a$ 且 $e \mid b$，论证 $a$ 和 $b$ 整除整数 $|a b| / e$。因此 $m$ 整除 $|a b| / e$，所以 $e$ 整除 $|a b| / m=f$。因此 $f=d$。
练习 3.7. (i) 群 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$ 中元素 $(1,1)=\left([1]_{2},[1]_{2}\right)$ 的阶是多少？群 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z})$ 中 $(1,1)=\left([1]_{2},[1]_{3}\right)$ 的阶是多少？群 $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})$ 中 $(1,1)=\left([1]_{4},[1]_{8}\right)$ 的阶是多少？群 $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})$ 中 $(2,4)=\left([2]_{4},[4]_{8}\right)$ 的阶是多少？
(ii) 设 $G$ 和 $H$ 是两个群，且 $g \in G$ 和 $h \in H$ 是两个有限阶元素，阶分别为 $n$ 和 $m$。猜测并证明关于 $(g, h)$ 作为 $G \times H$ 中元素的阶的公式。
练习 3.8. (i) 群 $\mathbb{Z} / 36 \mathbb{Z}$ 中元素 21 的阶是多少？将 $a$ 视为 $\mathbb{Z} / 36 \mathbb{Z}$ 中的元素，使得 $\langle 21\rangle=\langle a\rangle$ 的最小正整数 $a$ 是多少？
(ii) 群 $\mathbb{Z} / 45 \mathbb{Z}$ 中元素 30 的阶是多少？将 $a$ 视为 $\mathbb{Z} / 45 \mathbb{Z}$ 中的元素，使得 $\langle 30\rangle=\langle a\rangle$ 的最小正整数 $a$ 是多少？
(iii) 群 $(\mathbb{Z} / 36 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 45 \mathbb{Z})$ 中 $(21,30)$ 的阶是多少？
练习 3.9. 对于群 $\mathbb{Z} / 18 \mathbb{Z}$，列出 $\mathbb{Z} / 18 \mathbb{Z}$ 的所有可能的子群及其所有生成元，并验证 $\sum_{d \mid 18} \varphi(d)=18$。
练习 3.10. 考虑群 $(\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z})$ *（当然是在乘法下）。$(\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z})^{*}$ 的阶是多少？通过找到一个生成元，证明 $(\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z})^{*}$ 是循环群。然后列出 $(\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z})^{*}$ 的所有可能的子群及其所有生成元。（请系统地进行，并使用我们在课堂上发展出的理论。你已经知道子群所有可能的阶，以及每个阶恰好有一个子群，以及如何用 $(\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z})^{*}$ 的生成元来表示它。）
练习 3.11. 考虑群 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$（在乘法下）。
(i) $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 的阶是多少？
(ii) 计算 $2^{2}, 2^{3}, 2^{6}=\left(2^{3}\right)^{2}, 2^{9}=2^{3} \cdot 2^{6}$ 和 $2^{18}=\left(2^{9}\right)^{2}$。将一些答案写成 $-a, 0 \leq a \leq 18$ 的形式可能会有帮助。基于以上计算，证明 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 是循环群且 2 是 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 的一个生成元。$(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 元素的可能阶有哪些？
(iii) 元素 $2^{11}, 2^{12}, 2^{13}, 2^{15}$ 中哪些是 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 的生成元，哪些不是？（解释你的推理。）
(iv) 以 $2^{a}$ 的形式，其中 $0 \leq a \leq 18$，列出 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 的所有生成元。有多少个生成元？
(v) 以 $2^{a}$ 的形式，其中 $0 \leq a \leq 18$，列出 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 中阶为 6 的所有元素。有多少个这样的元素？同样，列出 $(\mathbb{Z} / 19 \mathbb{Z})^{*}$ 中阶为 5 的所有元素。
练习 3.12. $(\mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z})^{*}$ 的阶是多少？利用这一点，证明 $(\mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z})^{*}$ 是循环群且 3 是 $(\mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z})^{*}$ 的一个生成元。最后，循环群 $(\mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z})^{*}$ 有多少个生成元？使用一般理论给出你的答案的一行理由。
练习 3.13. 对于以下每个群，求其阶。判断该群是否为循环群，并更一般地描述该群中元素的最大可能阶。最后，对于列表中每个群，识别列表中其他哪些群与之同构。
(i) $\mathbb{Z} / 28 \mathbb{Z}$;
(ii) $\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$;
(iii) $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z}$;
(iv) $(\mathbb{Z} / 28 \mathbb{Z})^{*}$;
(v) $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z})^{*} \times(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z})^{*} ;$
(vi) $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^{*} \times(\mathbb{Z} / 14 \mathbb{Z})^{*}$。
练习 3.14. (中国剩余定理的显式证明.) 假设 $n$ 和 $m$ 是互质的正整数，且 $r, s \in \mathbb{Z}$。以下是如何找到一个显式整数 $x$ 使得 $x \equiv r(\bmod n)$ 且 $x \equiv s(\bmod m)$：假设 $k$ 和 $\ell$ 是整数使得 $k n+\ell m=1$（可以通过欧几里得算法找到）。设 $x=s k n+r \ell m$。证明 $x \equiv r(\bmod n)$ 且 $x \equiv s(\bmod m)$。
练习 3.15. (i) 设 $p$ 是一个素数。证明 $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ 没有非平凡真子群，即 $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ 的每个子群要么是 $\{0\}$，要么是 $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$。
(ii) 反过来，设 $G$ 是一个群，其元素多于一个，并假设 $G$ 没有非平凡真子群，即 $G$ 的每个子群要么是 $\{1\}$，要么是 $G$。证明 $G \cong \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ 对于某个素数 $p$。（首先证明 $G$ 是循环群，然后证明 $G$ 是有限的。）
练习 3.16. (i) 将 $\sigma \in S_{8}$ 写成不相交循环的乘积，其中
列出 $\sigma$ 的轨道。（不要忘记单元素轨道！）
(ii) 将 $S_{8}$ 中的以下乘积写成不相交循环的乘积：
(a) $(1,3,6,7)(1,4,5)$
(b) $(3,5,7,4,6,8)^{2}$;
(c) $(3,5,7,4,6,8)^{3}$;
(d) $(1,5,2,3)(1,4,3,7)$
(e) $(3,5,7,4,6,8)^{-1}$。
(iii) 找到 $S_{6}$ 中 $(1,3,5)(2,4)$ 的逆元。（乘积的逆元公式是什么？）
练习 3.17. 设 $n \geq 3$。假设 $\sigma \in S_{n}$ 且对于所有 $\tau \in S_{n}$, $\sigma \tau=\tau \sigma$。证明 $\sigma=1$。（等价地，对于所有 $\tau \in S_{n}, \sigma \tau \sigma^{-1}=\tau \Longleftrightarrow \sigma=1$。反之，假设 $\sigma \neq 1$，即存在 $i, j \in\{1, \ldots, n\}$ 使得 $i \neq j$ 且 $\sigma(i)=j$。由于 $n \geq 3$，存在某个 $k, 1 \leq k \leq n$，使得 $k \neq i, j$。观察 $\sigma \cdot(i, k) \cdot \sigma^{-1}$ 并使用优美的公式 $\sigma \cdot\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \cdot \sigma^{-1}=\left(\sigma\left(a_{1}\right), \ldots, \sigma\left(a_{k}\right)\right)$。）
练习 3.18. 以下哪些是偶排列，哪些是奇排列？
(a) $\left(\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 3 & 7 & 4 & 8 & 2 & 6 & 1\end{array}\right)$;
(b) $(1,3,6,7)(1,4,5)$;
(c) $(3,5,7,4,6,8)^{2}$;
(d) $(3,5,7,4,6,8)^{3} ;$
(e) $(1,5,2,3)(1,4,3,7)$。
练习 3.19. (i) 对于 $n \geq 4$，有多少个 $S_{n}$ 中的元素是两个不相交 2-循环的乘积？
(ii) 对于 $n \geq 3$，有多少个 $S_{n}$ 中的 3-循环？更一般地，对于 $n \geq k$，有多少个 $S_{n}$ 中的 $k$-循环？
(iii) $A_{5}$ 中元素可能的形状是什么？（换句话说，对于一个整数序列 $k_{1}, k_{2}, \ldots$，其中所有 $k_{i} \geq 2$ 且 $\sum_{i} k_{i} \leq 5$，使得 $S_{5}$ 中长度为 $k_{1}, k_{2}, \ldots$ 的不相交循环的乘积是 $A_{5}$ 的一个元素，该条件是什么？）使用上面的 (i) 和 (ii)，直接验证 $\#\left(A_{5}\right)=60$。
练习 3.20. ($A_{4}$ 的一个有趣的子群.) 令 $H$ 为 $S_{4}$ 的子集，定义为
证明 $H$ 是 $S_{4}$ 和 $A_{4}$ 的一个子群，并且 $H$ 与 Klein 4-群 $V$ 同构（即与 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ 同构）。
练习 3.21. 设 $\sigma$ 是 $S_{n}$ 中的一个 $k$-循环，且 $a \in \mathbb{Z}$ 满足 $\operatorname{gcd}(a, k)=1$。证明 $\sigma^{a}$ 仍然是一个 $k$-循环。（提示：首先证明 $\left\langle\sigma^{a}\right\rangle=\langle\sigma\rangle$。然后证明 $\sigma^{a}$ 的轨道与 $\sigma$ 的轨道相同，方法如下：显然对于每个 $i$, $O_{\sigma^{a}}(i) \subseteq O_{\sigma}(i)$。利用 $\left\langle\sigma^{a}\right\rangle=\langle\sigma\rangle$，反过来证明 $O_{\sigma}(i) \subseteq O_{\sigma^{a}}(i)$。）
练习 3.22. 我们已经看到群 $S_{n}$ 由所有对换 $(a, b), a<b$ 的集合生成。事实上，证明 $S_{n}$ 由子集 $\{(1,2),(2,3), \ldots,(n-1, n)\}$ 生成。（提示：重复使用公式 $\sigma \cdot\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \cdot \sigma^{-1}=\left(\sigma\left(a_{1}\right), \ldots, \sigma\left(a_{k}\right)\right)$。$(1,2)(2,3)(1,2)$ 是什么？$(1,3)(3,4)(1,3)$ 是什么？使用归纳法证明任何包含 $\{(1,2),(2,3), \ldots,(n-1, n)\}$ 的 $S_{n}$ 的子群包含 $(1, k)$ 对于每个 $k \leq n$。然后证明这样的子群必须包含 $(i, j)$ 对于每个 $i<j$。）
令 $\tau_{i}=(i, i+1)$ 对于 $1 \leq i \leq n-1$。证明 $\tau_{i}$ 满足以下方程：$\tau_{i}^{2}=1$，如果 $j \neq i \pm 1$，则 $\tau_{i} \tau_{j}=\tau_{j} \tau_{i}$，最后
辫子关系（它等价于方程 $\left(\tau_{i} \tau_{i+1}\right)^{3}=1$）。
练习 3.23. 证明 $S_{n}$ 由两个元素 $\tau=(1,2)$ 和 $\sigma=(1,2, \ldots, n)$ 生成。（自由使用优美的公式 $\sigma \cdot\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \cdot \sigma^{-1}=\left(\sigma\left(a_{1}\right), \ldots, \sigma\left(a_{k}\right)\right)$ 和上一个问题，并计算 $\sigma^{k} \tau \sigma^{-k}$。）
练习 3.24. 证明交错群 $A_{n}$ 由所有两个 2-循环的乘积 $(i, j)(k, \ell)$ 生成，不一定不相交（这是 $A_{n}$ 定义的一个简单推论）。计算两个不相交 2-循环 $(i, j)(i, \ell)$ 的乘积，其中我们假设 $i \neq j$ 和 $i \neq \ell$（答案将取决于 $j=\ell$ 是否成立）。接下来证明，假设数字 $i, j, k, \ell$ 都不同，则乘积 $(i, j, k)(k, i, \ell)$ 等于 $(j, k)(\ell, i)$。推断出，对于所有 $n \geq 3$， $A_{n}$ 由 $S_{n}$ 中所有 3-循环的集合生成。
1.1. 定义和例子。回顾一下，如果 $G$ 和 $H$ 是群，则同构 $f: G \rightarrow H$ 是一个双射 $f: G \rightarrow H$，使得对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
在许多情况下，我们给定一个函数 $f: G \rightarrow H$，它不一定是双射，但 $f$ 仍然满足函数方程 $f\left(g_{1} g_{2}\right)=f\left(g_{1}\right) f\left(g_{2}\right)$。我们将其定义如下：
定义 1.1.1. 设 $G$ 和 $H$ 是群。同态 $f: G \rightarrow H$ 是一个函数 $f: G \rightarrow H$，使得对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
例 1.1.2. 有许多众所周知的同态例子：
(1) 每个同构都是一个同态。
(2) 如果 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，且 $i: H \rightarrow G$ 是包含映射，那么 $i$ 是一个同态，这本质上是说 $H$ 的群运算由 $G$ 的群运算导出。注意 $i$ 总是内射的，但它满射当且仅当 $H=G$ 且 $i=\mathrm{Id}$。
(3) 通过 $f(g)=1$ 对于所有 $g \in G$ 定义的函数 $f: G \rightarrow H$ 是一个同态（平凡同态）。注意如果 $G$ 不是平凡群，则 $f$ 不是内射的，如果 $H$ 不是平凡群，则它不是满射的。
(4) 行列式 $\operatorname{det}: G L_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 是一个同态。这是恒等式 $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det} A \operatorname{det} B$ 的内容。这里 $\operatorname{det}$ 是满射的，因为对于每个非零实数 $t$，我们可以找到一个可逆的 $n \times n$ 矩阵 $A$ 使得 $\operatorname{det} A=t$。例如，可以取 $A$ 为满足 $A \mathbf{e}_{1}=t \mathbf{e}_{1}$ 和 $A \mathbf{e}_{i}=\mathbf{e}_{i}$ 对于 $i>1$ 的对角矩阵。然而，当 $n \geq 2$ 时，$\operatorname{det}$ 不是内射的。
(5) （复指数。）定义 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{*}$ 为
这里，如果 $z=x+i y$，那么
$f$ 是同态这一事实源于恒等式
复指数是满射的：$\mathbb{C}^{*}$ 的每个元素都具有 $e^{z}$ 的形式，对于某个 $z \in \mathbb{Z}$。但它不是内射的。事实上，$e^{z_{1}}=e^{z_{2}} \Longleftrightarrow z_{2}=z_{1}+2 n \pi i$ 对于某个 $n \in \mathbb{Z}$。这与实指数 $e^{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{*}$ 形成对比，实指数是内射但不是满射的（它的像是正实数的子群）。